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【2020.12.30更新】数字信号处理公式推导

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蝶蝶已蝶已蝶蝶 发表于 2021-1-1 10:30:25 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
序列傅里叶变换(SFT)性质

SFT[1]=                              2                      π                               δ                         ~                              (                      ω                      )                          2\pi\tilde \delta (\omega )               2πδ~(ω),此中                                       δ                         ~                              (                      ω                      )                          \tilde \delta (\omega )               δ~(ω)为以                              2                      π                          2\pi               2π为周期的周期单元冲激函数。
SFT[                                       e                                   j                                       ω                               0                                      n                                           {e^{j{\omega _0}n}}               ejω0​n]=                              2                      π                               δ                         ~                              (                      ω                      −                               ω                         0                              )                          2\pi\tilde \delta (\omega - \omega _0)               2πδ~(ω−ω0​)
周期为                              N                          N               N的周期序列                                       x                         ~                              (                      n                      )                          \tilde x(n)               x~(n)的序列傅里叶变换

                               X                      (                               e                                   j                            ω                                       )                      =                                         2                            π                                  N                                       ∑                                   k                            =                            −                            ∞                                            +                            ∞                                                          X                            ~                                  (                         k                         )                         δ                         (                         ω                         −                                              2                               π                                      N                                  k                         )                                  X({e^{j\omega }}) = \frac{{2\pi }}{N}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\omega - \frac{{2\pi }}{N}k)}               X(ejω)=N2π​k=−∞∑+∞​X~(k)δ(ω−N2π​k) (                                       P                         76                                  P_{76}               P76​)
令                                       x                         ~                              (                      t                      )                          \tilde x(t)               x~(t)为
                                              x                            ~                                  (                         t                         )                         =                                   ∑                                       n                               =                               −                               ∞                                      ∞                                                       x                               ~                                      (                            n                            )                            δ                            (                            t                            −                            n                                       T                               0                                      )                                       \tilde x(t) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\tilde x(n)\delta (t - n{T_0})}                  x~(t)=n=−∞∑∞​x~(n)δ(t−nT0​)
是由                              x                      (                      t                      )                          x(t)               x(t)以                              T                          T               T为周期进行延拓后以                                       T                         0                                  T_0               T0​为间隔进行采样得到的。                                       x                         ~                              (                      n                      )                          \tilde x(n)               x~(n)周期为                              N                          N               N,即每个周期有                              N                          N               N个采样点,则                                       x                         ~                              (                      t                      )                          \tilde x(t)               x~(t)是周期为                              T                      =                      N                               T                         0                                  T=NT_0               T=NT0​的采样信号,是一连信号,其傅里叶变换为。
                                        X                         ~                              (                      j                      Ω                      )                      =                                                    X                               (                                           e                                               j                                     ω                                                      )                                      ∣                                            ω                            =                            Ω                                       T                               0                                                        =                                         2                            π                                  N                                       ∑                                   k                            =                            −                            ∞                                            +                            ∞                                                          X                            ~                                  (                         k                         )                         δ                         (                         Ω                                   T                            0                                  −                                              2                               π                                      N                                  k                         )                                     =                                         2                            π                                            N                                       T                               0                                                          ∑                                   k                            =                            −                            ∞                                            +                            ∞                                                          X                            ~                                  (                         k                         )                         δ                         (                         Ω                         −                                              2                               π                                                 N                                           T                                  0                                                       k                         )                                     =                                         2                            π                                  T                                       ∑                                   k                            =                            −                            ∞                                            +                            ∞                                                          X                            ~                                  (                         k                         )                         δ                         (                         Ω                         −                                              2                               π                                      T                                  k                         )                                  \tilde X(j\Omega ) = {\left. {X({e^{j\omega }})} \right|_{\omega = \Omega {T_0}}}\\ = \frac{{2\pi }}{N}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\Omega {T_0} - \frac{{2\pi }}{N}k)} \\ = \frac{{2\pi }}{{N{T_0}}}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\Omega - \frac{{2\pi }}{{N{T_0}}}k)} \\ = \frac{{2\pi }}{T}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\Omega - \frac{{2\pi }}{T}k)}               X~(jΩ)=X(ejω)∣∣​ω=ΩT0​​=N2π​k=−∞∑+∞​X~(k)δ(ΩT0​−N2π​k)=NT0​2π​k=−∞∑+∞​X~(k)δ(Ω−NT0​2π​k)=T2π​k=−∞∑+∞​X~(k)δ(Ω−T2π​k)
那么                              T                               x                         ~                              (                      t                      )                      ↔                               ∑                                   k                            =                            −                            ∞                                            +                            ∞                                                2                         π                                   X                            ~                                  (                         k                         )                         δ                         (                         Ω                         −                                              2                               π                                      T                                  k                         )                                  T\tilde x(t) \leftrightarrow \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {2\pi \tilde X(k)\delta (\Omega - \frac{{2\pi }}{T}k)}               Tx~(t)↔k=−∞∑+∞​2πX~(k)δ(Ω−T2π​k),也就是下面图中的公式。

                              S                      a                          Sa               Sa函数与                              s                      i                      n                      c                          sinc               sinc函数的区别

                               S                      a                      (                      x                      )                      =                                         sin                            ⁡                            x                                  x                                  Sa(x) = \frac{{\sin x}}{x}               Sa(x)=xsinx​
                               s                      i                      n                      c                      (                      x                      )                      =                                         sin                            ⁡                            (                            π                            x                            )                                            π                            x                                           sinc(x) = \frac{{\sin (\pi x)}}{{\pi x}}               sinc(x)=πxsin(πx)​
线性卷积与循环卷积

循环卷积序列是线性卷积序列以循环卷积的长度为周期周期延拓后的主值序列。


  • 循环卷积序列 是有限的。
概率密度函数的特征函数

概率密度函数的傅里叶变换
                               a                      =                      0                          a=0               a=0且                              γ                      =                               σ                         2                              =                      1                          \gamma=\sigma^2=1               γ=σ2=1时,成为尺度                              α                          \alpha               α稳定分布
                               β                      =                      0                          \beta=0               β=0时称为对称分布,简称                              S                      α                      S                          S\alpha S               SαS分布
功率归一化

使信号的功率为1,即
                                              y                            ′                                  =                                   y                                                                1                                     N                                                           ∑                                                   n                                        =                                        0                                                                N                                        −                                        1                                                                                      ∣                                                       y                                           (                                           n                                           )                                                      ∣                                                  2                                                                        y' = \frac{y}{{\sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {y(n)} \right|}^2}} } }}                  y′=N1​n=0∑N−1​∣y(n)∣2                                                             ​y​
剩余码间干扰(ISI)界说
                                    I                         S                         I                         =                                              ∑                                                        ∣                                                   θ                                        (                                        n                                        )                                                  ∣                                              2                                                            max                               ⁡                                                        ∣                                                   θ                                        (                                        n                                        )                                                  ∣                                              2                                                            ISI = \frac{{\sum {{{\left| {\theta (n)} \right|}^2}} }}{{\max {{\left| {\theta (n)} \right|}^2}}}                  ISI=max∣θ(n)∣2∑∣θ(n)∣2​

                                    I                         S                         I                         =                                              ∑                                                        ∣                                                   θ                                        (                                        n                                        )                                                  ∣                                              2                                          −                               max                               ⁡                                                        ∣                                                   θ                                        (                                        n                                        )                                                  ∣                                              2                                                            max                               ⁡                                                        ∣                                                   θ                                        (                                        n                                        )                                                  ∣                                              2                                                            ISI = \frac{{\sum {{{\left| {\theta (n)} \right|}^2}} - \max {{\left| {\theta (n)} \right|}^2}}}{{\max {{\left| {\theta (n)} \right|}^2}}}                  ISI=max∣θ(n)∣2∑∣θ(n)∣2−max∣θ(n)∣2​

来源:https://blog.csdn.net/wlwdecs_dn/article/details/109061497
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