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参数估计(二)

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丶禁飞 发表于 2021-1-1 10:31:23 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
1.距估计步调
已知
                                               α                            1                                  =                         E                         (                         X                         )                                           α                            2                                  =                         D                         (                         X                         )                         +                                              [                               E                               (                               X                               )                               ]                                      2                                       { \alpha }_{ 1 }=E(X)\\ { \alpha }_{ 2 }=D(X)+{ [E(X)] }^{ 2 }                  α1​=E(X)α2​=D(X)+[E(X)]2
                                              A                            1                                  =                                   X                            ‾                                                    A                            2                                  =                                   1                            n                                            ∑                                       i                               =                               1                                      n                                            X                            i                            2                                       { A }_{ 1 }=\overline{X} \\ { A }_{ 2 }=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ 2 } }                  A1​=XA2​=n1​∑i=1n​Xi2​
例子:求总体均值                              μ                      =                      E                      (                      X                      )                          \mu=E(X)               μ=E(X)与方差                                       σ                         2                              =                      D                      (                      X                      )                          {\sigma}^{2}=D(X)               σ2=D(X)的矩估计量
  (1)列出总体的前m阶原点矩
                                              α                            1                                  =                         E                         (                         X                         )                         =                         μ                              {\alpha}_{1}=E(X)=\mu                  α1​=E(X)=μ
                                              α                            2                                  =                         E                         (                                   X                            2                                  )                         =                         D                         (                         X                         )                         +                                              [                               E                               (                               X                               )                               ]                                      2                                  =                                   σ                            2                                  +                                   μ                            2                                       {\alpha}_{2}=E({X}^{2})=D(X)+{ [E(X)] }^{ 2 }={ \sigma }^{ 2 } + { \mu }^{ 2 }                  α2​=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2
(2)把需要求的参数用总体距体现出来:
                                    μ                         =                                   α                            1                                       \mu={\alpha}_{1}                  μ=α1​
                                              σ                            2                                  =                                   α                            2                                  −                                              α                               1                                      2                                       { \sigma }^{ 2 }={\alpha}_{2}-{{\alpha}_{1}}^{2}                  σ2=α2​−α1​2
(3)用样本的各阶原点矩取代总体原点矩
                                              μ                            ^                                  =                                   A                            1                                  =                                   X                            ˉ                                                               σ                               ^                                      2                                  =                                   A                            2                                  −                                              A                               1                                      2                                  =                                   1                            n                                            ∑                                       i                               =                               1                                      n                                            X                            i                            2                                  −                                              X                               ˉ                                      2                                  =                                   S                                       ∗                               2                                                 \hat { \mu } ={ A }_{ 1 }=\bar { X } \\ { \hat { \sigma } }^{ 2 }={ A }_{ 2 }-{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ 2 } }-{ \bar { X } }^{ 2 }={ S }^{ *2 }                  μ^​=A1​=Xˉσ^2=A2​−A1​2=n1​∑i=1n​Xi2​−Xˉ2=S∗2
当给出概率密度函数的时候
总体的均值=[x*(概率密度函数)]的积分
离散型的
总体的均值=(各点值✖️各点概率)相加
2.极大似然估计步调
离散型
各个实验效果对应的概率相乘即为似然函数
一连型
  (1)写出似然函数
                                    L                         (                         θ                         )                         =                                   {                                                                                                             ∏                                                               i                                                 =                                                 1                                                              n                                                                          f                                                               (                                                                   x                                                    i                                                                  ;                                                                   θ                                                    1                                                                  ,                                                                   θ                                                    2                                                                  ,                                                 .                                                 .                                                 .                                                 ,                                                                   θ                                                    m                                                                  )                                                                          ,                                           连                                           续                                           总                                           体                                                                                                                                                       ∏                                                               i                                                 =                                                 1                                                              n                                                                          P                                                               (                                                                                                          X                                                          i                                                                          =                                                       x                                                                      i                                                                  ;                                                                   θ                                                    1                                                                  ,                                                                   θ                                                    2                                                                  ,                                                 .                                                 .                                                 .                                                 ,                                                                   θ                                                    m                                                                  )                                                              ,                                              离                                              散                                              总                                              体                                                                                                                  L(\theta )=\begin{cases} \prod _{ i=1 }^{ n }{ f\left( { x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) } ,一连总体 \\ \prod _{ i=1 }^{ n }{ P\left( { { X }_{ i }=x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) ,离散总体 } \end{cases}                  L(θ)={∏i=1n​f(xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),连续总体∏i=1n​P(Xi​=xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),离散总体​
(2)对似然函数取对数
                                    l                         n                         L                         (                         θ                         )                         =                                   {                                                                                                             ∏                                                               i                                                 =                                                 1                                                              n                                                                          l                                              n                                              f                                                               (                                                                   x                                                    i                                                                  ;                                                                   θ                                                    1                                                                  ,                                                                   θ                                                    2                                                                  ,                                                 .                                                 .                                                 .                                                 ,                                                                   θ                                                    m                                                                  )                                                                          ,                                           连                                           续                                           总                                           体                                                                                                                                                       ∏                                                               i                                                 =                                                 1                                                              n                                                                          l                                              n                                              P                                                               (                                                                                                          X                                                          i                                                                          =                                                       x                                                                      i                                                                  ;                                                                   θ                                                    1                                                                  ,                                                                   θ                                                    2                                                                  ,                                                 .                                                 .                                                 .                                                 ,                                                                   θ                                                    m                                                                  )                                                              ,                                              离                                              散                                              总                                              体                                                                                                                  lnL(\theta )=\begin{cases} \prod _{ i=1 }^{ n }{ lnf\left( { x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) } ,一连总体 \\ \prod _{ i=1 }^{ n }{ lnP\left( { { X }_{ i }=x }_{ i };{\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m} \right) ,离散总体 } \end{cases}                  lnL(θ)={∏i=1n​lnf(xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),连续总体∏i=1n​lnP(Xi​=xi​;θ1​,θ2​,...,θm​),离散总体​
(3)创建似然方程,对m个                                   θ                              \theta                  θ求偏导
                                                         ∂                               l                               n                               L                               (                                           θ                                  1                                          ,                                           θ                                  2                                          ,                               .                               .                               .                               ,                                           θ                                  m                                          )                                                 ∂                                           θ                                  j                                                       =                         0                         ,                         j                         =                         1                         ,                         .                         .                         ,                         m                              \frac { \partial lnL({\theta}_{1},{\theta}_{2},...,{\theta}_{m}) }{ \partial { \theta }_{ j } } =0,j=1,..,m                  ∂θj​∂lnL(θ1​,θ2​,...,θm​)​=0,j=1,..,m
(4)解出似然方程,求出最大的                                   θ                              \theta                  θ,若不可微分,用其他方法.
判定估计的标准

无偏性
样本k阶原点距是总体k阶原点矩的无偏估计吗
                                     E                         (                                   A                            k                                  )                         =                                   1                            n                                            ∑                                       i                               =                               1                                      n                                            X                            i                            k                                  =                         E                         (                                   X                            i                            k                                  )                         =                         E                         (                                   X                            k                                  )                         =                                   α                            k                                       E({ A }_{ k })=\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i }^{ k } } =E({ X }_{ i }^{ k })=E({ X }^{ k })={ \alpha }_{ k }                  E(Ak​)=n1​∑i=1n​Xik​=E(Xik​)=E(Xk)=αk​
有效性
  比较无偏性后,比较方差,
1.先算出两个估计量的方差
相合性
有效估计的均方误差准则
区间估计公式

(1)                              μ                      的                      区                      间                      估                      计                          \mu的区间估计               μ的区间估计
                                     (                                   X                            ˉ                                  −                                   σ                                       n                                                      μ                                       α                               2                                            ,                                   X                            ˉ                                  +                                   σ                                       n                                                      μ                                       α                               2                                            )                              (\bar { X } -\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } },\bar { X } +\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } })                  (Xˉ−n                                                             ​σ​μ2α​​,Xˉ+n                                                             ​σ​μ2α​​)
                                        σ                         2                              未                      知                      时                      μ                      的                      区                      间                      估                      计                          {\sigma}^{2}未知时\mu的区间估计               σ2未知时μ的区间估计
                                     (                                   X                            ˉ                                  −                                              S                               ∗                                                 n                                                      t                                       α                               2                                            (                         n                         −                         1                         )                         ,                                   X                            ˉ                                  +                                              S                               ∗                                                 n                                                      t                                       α                               2                                            (                         n                         −                         1                         )                         )                              (\bar { X } -\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1),\bar { X } +\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1))                  (Xˉ−n                                                             ​S∗​t2α​​(n−1),Xˉ+n                                                             ​S∗​t2α​​(n−1))
                                        σ                         2                                  {\sigma}^{2}               σ2的区间估计
                                     (                                              (                               n                               −                               1                               )                                                        S                                     ∗                                              2                                                                        χ                                               α                                     2                                              2                                          (                               n                               −                               1                               )                                            ,                                              (                               n                               −                               1                               )                                                        S                                     ∗                                              2                                                                        χ                                               1                                     −                                                   α                                        2                                                           2                                          (                               n                               −                               1                               )                                            )                              (\frac { (n-1){ { S }^{ * } }^{ 2 } }{ { \chi }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(n-1) } ,\frac { (n-1){ { S }^{ * } }^{ 2 } }{ { \chi }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(n-1) } )                  (χ2α​2​(n−1)(n−1)S∗2​,χ1−2α​2​(n−1)(n−1)S∗2​)
(2)                                       μ                         1                              −                               μ                         2                                  {\mu}_{1}-{\mu}_{2}               μ1​−μ2​的区间估计
                                     {                         (                                   X                            ˉ                                  −                                   Y                            ˉ                                  )                         ∓                                   μ                                       α                               2                                                                                          σ                                     1                                     2                                                           n                                     1                                                      +                                                        σ                                     2                                     2                                                           n                                     2                                                                   }                              \left\{ (\bar { X } -\bar { Y } )\mp { \mu }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\sqrt { \frac { { \sigma }_{ 1 }^{ 2 } }{ { n }_{ 1 } } +\frac { { \sigma }_{ 2 }^{ 2 } }{ { n }_{ 2 } } } \right\}                  {(Xˉ−Yˉ)∓μ2α​​n1​σ12​​+n2​σ22​​                                        ​}
                                        σ                         1                         2                              =                               σ                         2                         2                              =                               σ                         2                              但                               σ                         2                              未                      知                          { \sigma }_{ 1 }^{ 2 }={ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }={ \sigma }^{ 2 }但{ \sigma }^{ 2 }未知               σ12​=σ22​=σ2但σ2未知
                                     {                         (                                   X                            ˉ                                  −                                   Y                            ˉ                                  )                         ∓                                   t                                       α                               2                                            (                                   n                            1                                  +                                   n                            2                                  −                         2                         )                                   S                            w                                                                   1                                               n                                     1                                                      +                                           1                                               n                                     2                                                                   }                              \left\{ (\bar { X } -\bar { Y } )\mp { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2){ S }_{ w }\sqrt { \frac { 1 }{ { n }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { n }_{ 2 } } } \right\}                  {(Xˉ−Yˉ)∓t2α​​(n1​+n2​−2)Sw​n1​1​+n2​1​                                        ​}
此中                                             S                            w                                  =                                                          (                                               n                                     1                                              −                                  1                                  )                                                             S                                        1                                        ∗                                                                n                                        1                                                  2                                              +                                  (                                               n                                     2                                              −                                  1                                  )                                                             S                                        2                                                       ∗                                           2                                                                              n                                        2                                                                                            n                                     1                                              +                                               n                                     2                                              −                                  2                                                            { S }_{ w }=\sqrt { \frac { ({ n }_{ 1 }-1){ { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 }+({ n }_{ 2 }-1){ { S }_{ 2 }^{ *2 } }_{ { n }_{ 2 } } }{ { n }_{ 1 }+{ n }_{ 2 }-2 } }                  Sw​=n1​+n2​−2(n1​−1)S1∗​n1​2​+(n2​−1)S2∗2​n2​​​                                     ​
                                        σ                         1                         2                              和                               σ                         2                         2                              均                      未                      知                      ,                      但                               n                         1                              =                               n                         2                              =                      n                          { \sigma }_{ 1 }^{ 2 }和{ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }均未知,但{n}_{1}={n}_{2}=n               σ12​和σ22​均未知,但n1​=n2​=n
                                     {                                   Z                            ˉ                                  −                                              S                               Z                               ∗                                                 n                                                      t                                       α                               2                                            (                         n                         −                         1                         )                         ,                                   Z                            ˉ                                  +                                              S                               Z                               ∗                                                 n                                                      t                                       α                               2                                            (                         n                         −                         1                         )                         }                              \left\{ \bar { Z } -\frac { { S }_{ Z }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1),\bar { Z } +\frac { { S }_{ Z }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }(n-1) \right\}                  {Zˉ−n                                                                ​SZ∗​​t2α​​(n−1),Zˉ+n                                                                ​SZ∗​​t2α​​(n−1)}
此中                                             Z                            ˉ                                  =                                   X                            ˉ                                  −                                   Y                            ˉ                                  ,                                   S                            Z                            ∗                                  =                                                          1                                               n                                     −                                     1                                                                  ∑                                               i                                     =                                     1                                              n                                                                   (                                                   Z                                        i                                                  −                                                   Z                                        ˉ                                                  )                                              2                                                            \bar { Z } =\bar { X } -\bar { Y },{ S }_{ Z }^{ * }=\sqrt { \frac { 1 }{ n-1 } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { ({ Z }_{ i }-\bar { Z } ) }^{ 2 } } }                  Zˉ=Xˉ−Yˉ,SZ∗​=n−11​∑i=1n​(Zi​−Zˉ)2                                     ​
                                        σ                         1                         2                              /                               σ                         2                         2                                  { \sigma }_{ 1 }^{ 2 }/{ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }               σ12​/σ22​的区间估计
                                     {                                   F                                       1                               −                                           α                                  2                                                       (                                   n                            2                                  −                         1                         ,                                   n                            1                                  −                         1                         )                                                          S                                  1                                  ∗                                                      n                                  1                                          2                                                             S                                  2                                  ∗                                                      n                                  2                                          2                                            ,                                   F                                       α                               2                                            (                                   n                            2                                  −                         1                         ,                                   n                            1                                  −                         1                         )                                                          S                                  1                                  ∗                                                      n                                  1                                          2                                                             S                                  2                                  ∗                                                      n                                  2                                          2                                            }                              \left\{ { F }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 2 }-1,{ n }_{ 1 }-1)\frac { { { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { { S }_{ 2 }^{ * } }_{ { n }_{ 2 } }^{ 2 } } ,{ F }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }({ n }_{ 2 }-1,{ n }_{ 1 }-1)\frac { { { S }_{ 1 }^{ * } }_{ { n }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { { S }_{ 2 }^{ * } }_{ { n }_{ 2 } }^{ 2 } } \right\}                  {F1−2α​​(n2​−1,n1​−1)S2∗​n2​2​S1∗​n1​2​​,F2α​​(n2​−1,n1​−1)S2∗​n2​2​S1∗​n1​2​​}
非正态总体的区间估计

指数分布λ的区间估计
                                     {                                                          χ                                               1                                     −                                                   α                                        2                                                           2                                          (                               2                               n                               )                                                 2                               n                                           X                                  ˉ                                                       ,                                                          χ                                               α                                     2                                              2                                          (                               2                               n                               )                                                 2                               n                                           X                                  ˉ                                                       }                              \left\{ \frac { { \chi }_{ 1-\frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(2n) }{ 2n\bar { X } } ,\frac { { \chi }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }^{ 2 }(2n) }{ 2n\bar { X } } \right\}                  {2nXˉχ1−2α​2​(2n)​,2nXˉχ2α​2​(2n)​}
0-1分布的p区间估计
                                     {                                   1                                       2                               a                                            (                         b                         −                                                          b                                  2                                          −                               4                               a                               c                                            )                         ,                                   1                                       2                               a                                            (                         b                         +                                                          b                                  2                                          −                               4                               a                               c                                            )                         }                              \left\{ \frac { 1 }{ 2a } (b-\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } ),\frac { 1 }{ 2a } (b+\sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } ) \right\}                  {2a1​(b−b2−4ac                                        ​),2a1​(b+b2−4ac                                        ​)}
单侧区间估计

                               μ                          \mu               μ的具有单侧置信区间下限的区间估计
                                     (                                   X                            ˉ                                  −                                              S                               ∗                                                 n                                                      t                            α                                  (                         n                         −                         1                         )                         ,                         +                         ∞                         )                              (\bar { X } -\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \alpha }(n-1),+\infty )                  (Xˉ−n                                                             ​S∗​tα​(n−1),+∞)
                               μ                          \mu               μ的具有单侧置信区间上限的区间估计
                                     (                         −                         ∞                         ,                                   X                            ˉ                                  +                                              S                               ∗                                                 n                                                      t                            α                                  (                         n                         −                         1                         )                         )                              (-\infty,\bar { X } +\frac { { S }^{ * } }{ \sqrt { n } } { t }_{ \alpha }(n-1))                  (−∞,Xˉ+n                                                             ​S∗​tα​(n−1))

来源:https://blog.csdn.net/qq_34671967/article/details/85907464
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