请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

扭倒费赌局问题

[复制链接]
林雨宣 发表于 2021-1-1 17:45:19 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
1. 引言

丈夫和妻子在家玩抛硬币游戏。假设每次妻子选正面,丈夫选反面。妻子制定规则如下:每一轮开始时筹码为 1 元钱,如果第一局为正面,则本轮竣事,妻子赢 1 元钱。否则筹码加为 2 元钱,如果妻子赢,本轮竣事,她照旧赚 1 元钱。否则筹码加为 4 元钱,以此类推。问:

  • 这个赌局是否公平?
  • 妻子可以通过这种方式把丈夫的钱赢光吗?
    说明:这个问题是我若干年前自己想出来的,若有类似,纯属巧合!
2. 问题建模

分析该问题涉及的几个因素:

  • 妻子、丈夫的初始个人资产。假设它们均为正整数,也可以思量为无穷的情况。
  • 终止条件,与赌局数量紧密相关。可以用某方钱输光为终止条件,在此底子上进一步思量赌局数量固定,还可以仅思量不凌驾一轮。
  • 筹码设置计谋。可以思量固定筹码、加倍筹码、按条件改变筹码等计谋。 引言中所提到是按条件改变筹码的一种特例。
  • 硬币正面概率。可以固定为 0.5,也可以思量别的常数。
    为便于背面对情况的形貌,对各个因素创建相应的符号系统。
2.1 资产建模

记妻子资产为                               m                          m               m, 如果为无穷,则记为                               m                      →                      ∞                          m \rightarrow \infty               m→∞. 丈夫资产为                               n                          n               n, 同理可为无穷. 记妻子资产的变革量为                               Δ                      m                          \Delta m               Δm, 其渴望值为                                                  Δ                            m                                  ‾                                  \overline{\Delta m}               Δm, 方差为                               σ                          \sigma               σ .
轻便起见,资产均省略其单元,即元。
2.2 终止条件

如果妻子输光,则记为                               t                      =                      W                          t = W               t=W; 如果丈夫输光,则记为                               t                      =                      H                          t = H               t=H; 如果到达总局数上限                               G                          G               G, 则记为                               t                      =                      G                          t = G               t=G. 轮数记为                               r                          r               r.
2.3 筹码设置计谋

不失一般性,固定筹码记为                               v                      ≡                      1                          v \equiv 1               v≡1; 每次加倍筹码记为                               v                      =                               k                         i                                  v = k^i               v=ki, 默认情况下                               k                      =                      2                          k = 2               k=2; 对于按加倍筹码计谋,可以认为在每一轮退化为加倍筹码计谋。
2.4 单局胜率设置

硬币正面概率记为                               p                          p               p, 则反面概率为                               (                      1                      −                      p                      )                          (1 - p)               (1−p). 默认情况为                               p                      =                      0.5                          p = 0.5               p=0.5.
3. 差异设置下的问题分析

本节基于差异设置,分析相应的问题。为轻便起见,均站在妻子的角度讨论输赢。
3.1 双方资产无限、局数有限、不凌驾1轮

性质1: 当                               m                      ,                      n                      →                      ∞                          m, n \rightarrow \infty               m,n→∞,                               t                      ≤                      G                          t \leq G               t≤G,                               v                      =                               k                         i                                  v = k^i               v=ki,                               k                      =                      2                          k = 2               k=2,                               p                      =                      0.5                          p = 0.5               p=0.5,                               r                      ≤                      1                          r \leq 1               r≤1时,                                                  Δ                            m                                  ‾                              =                      0                          \overline{\Delta m} = 0               Δm=0.
证明: 由于                               r                      ≤                      1                          r \leq 1               r≤1,只需要赢1局即竣事;又由于                               t                      ≤                      G                          t \leq G               t≤G,一连输                               G                          G               G 局也需要竣事.
情况1: 一连输                               i                          i               i 局之后,赢1局竣事,此中                               0                      ≤                      i                      ≤                      G                      −                      1                          0 \leq i \leq G - 1               0≤i≤G−1,其概率为
                                                                              (                                  1                                  −                                  p                                               )                                     i                                              p                                  ,                                                                     (1)                                                 (1-p)^i p, \tag{1}                  (1−p)ip,(1)
收益为 1.
情况2: 一连输                               G                          G               G 次竣事,其概率为
                                                                              (                                  1                                  −                                  p                                               )                                     G                                              ,                                                                     (2)                                                 (1 - p)^G, \tag{2}                  (1−p)G,(2)
损失为
                                                                                           k                                     0                                              +                                  ⋯                                  +                                               k                                                   G                                        −                                        1                                                           =                                               k                                     G                                              −                                  1.                                                                     (3)                                                 k^0 + \dots + k^{G - 1} = k^G - 1 \tag{3}.                  k0+⋯+kG−1=kG−1.(3)
由于损失为负收益,综合情况 1 和 2 , 渴望收益为:
                                                                                                         Δ                                        m                                                  ‾                                              =                                  −                                  (                                  1                                  −                                  p                                               )                                     G                                              (                                               k                                     G                                              −                                  1                                  )                                  +                                               ∑                                                   i                                        =                                        0                                                                G                                        −                                        1                                                           (                                  1                                  −                                  p                                               )                                     i                                              p                                  .                                                                     (4)                                                 \overline{\Delta m} = - (1 - p)^G (k^G - 1) + \sum_{i = 0}^{G - 1} (1-p)^i p. \tag{4}                  Δm=−(1−p)G(kG−1)+i=0∑G−1​(1−p)ip.(4)
由于                               p                      =                      0.5                          p = 0.5               p=0.5,                               k                      =                      2                          k = 2               k=2,
                                                         Δ                               m                                      ‾                                  =                         −                                   1                                       2                               G                                            (                                   2                            G                                  −                         1                         )                         +                                   ∑                                       i                               =                               1                                      G                                            1                                       2                               i                                            =                         0.                              \overline{\Delta m} = -\frac{1}{2^G}(2^G - 1) + \sum_{i = 1}^{G}\frac{1}{2^i} = 0.                  Δm=−2G1​(2G−1)+i=1∑G​2i1​=0.
证毕。
性质1说明,在这个场景下赌局是公平的。进一步地,可以证明无论如何改变筹码设置计谋,赌局都是公平的。
3.2 双方资产无限、局数无上限、刚好1轮

性质2: 当                               m                      ,                      n                      →                      ∞                          m, n \rightarrow \infty               m,n→∞,                               p                      =                      2                          p = 2               p=2, 局数无上限,1 轮的匀称局数为                               2                          2               2.
证明: 一连输                               i                          i               i 局之后,赢1局竣事,此中                               0                      ≤                      i                      ≤                      G                      −                      1                          0 \leq i \leq G - 1               0≤i≤G−1,其概率为 (1) 式所示.
因此,匀称局数为
                                              t                            ‾                                  =                                   ∑                                       i                               =                               0                                      ∞                                  i                         (                         1                         −                         p                                   )                            i                                  p                         .                              \overline{t} = \sum_{i = 0}^ \infty i (1 - p)^i p.                  t=i=0∑∞​i(1−p)ip.
当                               p                      =                      0.5                          p = 0.5               p=0.5 时, 根据高中的级数求和知识。
                                              t                            ‾                                  =                                   ∑                                       i                               =                               1                                      ∞                                            i                                       2                               i                                            =                         2.                              \overline{t} = \sum_{i = 1}^ \infty \frac{i}{2^i} = 2.                  t=i=1∑∞​2ii​=2.
证毕。
性质2说明,妻子想要赢 1 元钱,匀称需要 2 局。
3.3 双方无限资产下的固定局数

性质3:                               m                      ,                      n                      →                      ∞                          m, n \rightarrow \infty               m,n→∞,                               t                      =                      G                          t = G               t=G,                               v                      =                               2                         i                                  v = 2^i               v=2i,                               p                      =                      0.5                          p = 0.5               p=0.5,                                                  Δ                            m                                  ‾                              =                      0                          \overline{\Delta m} = 0               Δm=0.
证明:
注:无限资产不会涉及停业问题。
性质4: 在设置1下,双方的资产变革量方差为                               x                          x               x(要盘算)。
3.4 双方有限资产下的固定局数

公平
3.5 双方有限资产下的无限局数

公平
3.6 单方有限资产下的有限局数

3.7 单方有限资产下的无限局数

有限资产方将输光。不公平。
想用马尔科夫链。
4. 讨论

重要的是创建一个完备的体系。
做研究工作的要义在于:屁大个事儿,搞一大堆原理,还很严谨的样子。

来源:https://blog.csdn.net/minfanphd/article/details/111983687
免责声明:如果侵犯了您的权益,请联系站长,我们会及时删除侵权内容,谢谢合作!
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则


专注素材教程免费分享
全国免费热线电话

18768367769

周一至周日9:00-23:00

反馈建议

27428564@qq.com 在线QQ咨询

扫描二维码关注我们

Powered by Discuz! X3.4© 2001-2013 Comsenz Inc.( 蜀ICP备2021001884号-1 )