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高中导数题大集合

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谢世民 发表于 2021-1-2 19:42:51 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
文章目次





  • 看到切线问题一般都要设切点去管理!

    • 设切点
    • 然后写出直线的点斜式方程!




  •                                              f                            ′                                  (                                   x                            0                                  )                         =                         0                              f'(x_0) = 0                  f′(x0​)=0 能推出                                             x                            0                                       x_0                  x0​是                                   f                         (                         x                         )                              f(x)                  f(x)是极值点吗?



  •                                              x                            0                                       x_0                  x0​是                                   f                         (                         x                         )                              f(x)                  f(x)的极大值点,这说明啥?

    • (1)                                                          f                                  ′                                          (                                           x                                  0                                          )                               =                               0                                      f'(x_0)=0                        f′(x0​)=0
    • (2)                                                          f                                  ′                                          (                               x                               )                                      f'(x)                        f′(x)在                                                         x                                  0                                                 x_0                        x0​左边0




  • 做导数题不要忘记函数的一些基天性质:

    • 奇偶性




  • 求函数值域(单调性,最值)的三步调
本质就是研究函数的单调性问题哈哈!


  • 求导
  • 关注导函数在差别区间的正负形!
  • 画表
  • 不熟悉的话一步也不能少!



  • 导数内里的证明不等式问题一般两个思路:

    • 从函数的观点研究,转化成研究函数单调性(值域,最值)的问题
    • 使用已知的不等式知识直接证明

      • 这有时候需要相当多的本领





  • 数形联合!

    • 这个是时刻放在心中的思想啊!

2020北京高考(导数最简单的题型)



  • 2020年北京噶考题
  • 设切点为                                        (                            m                            ,                            12                            −                                       m                               2                                      )                                  (m,12-m^2)                     (m,12−m2)
  • 切线方程就是:
                               y                      −                      (                      12                      −                               m                         2                              )                      =                      (                      −                      2                      m                      )                      (                      x                      −                      m                      )                          y-(12-m^2) = (-2m)(x-m)               y−(12−m2)=(−2m)(x−m)


  • 整理
                                             y                            =                            −                            2                            m                            x                            +                                       m                               2                                      +                            12                                  y= -2mx+m^2+12                     y=−2mx+m2+12
  • 说明                                        −                            2                            m                            =                            −                            2                            ⇒                            m                            =                            1                                  -2m = -2 \Rightarrow m =1                     −2m=−2⇒m=1
  • 说明切线方程为                                        y                            =                            −                            2                            x                            +                            13                                  y=-2x + 13                     y=−2x+13

                               y                      =                      −                      2                      t                      x                      +                               t                         2                              +                      12                          y = -2tx + t^2 +12               y=−2tx+t2+12


  •                                    S                         (                         t                         )                         =                         ∣                                              (                                           t                                  2                                          +                               12                                           )                                  2                                                            4                               t                                            ∣                         ,                         t                         ∈                         (                         −                         ∞                         ,                         0                         )                         ∪                         (                         0                         ,                         +                         ∞                         )                              S(t) = |\frac{(t^2+12)^2}{4t}|,t\in(-\infty,0)\cup (0,+\infty)                  S(t)=∣4t(t2+12)2​∣,t∈(−∞,0)∪(0,+∞)
  •                                    S                         (                         t                         )                              S(t)                  S(t)是个偶函数
  • 故只研究                                   t                         ∈                         (                         0                         ,                         +                         ∞                         )                              t\in (0,+\infty)                  t∈(0,+∞)部门
  • 此时                                   S                         (                         t                         )                         =                                              (                                           t                                  2                                          +                               12                                           )                                  2                                                            4                               t                                            ,                         t                         >                         0                              S(t) = \frac{(t^2+12)^2}{4t},t>0                  S(t)=4t(t2+12)2​,t>0
  • 我现在要求                                   S                         (                         t                         )                              S(t)                  S(t)的值域啦!
三步走!


  • 先把                                   S                         (                         t                         )                              S(t)                  S(t)化简一下
当分母为很简单的式子时候经常这么干啊!
                               S                      (                      t                      )                      =                               1                         4                              (                               t                         3                              +                      24                      t                      +                               144                         t                              )                          S(t) = \frac{1}{4}(t^3 + 24t +\frac{144}{t})               S(t)=41​(t3+24t+t144​)
                                        S                         ′                              (                      t                      )                      =                               1                         2                              (                      3                               t                         2                              +                      24                      −                               144                                   t                            2                                       )                          S'(t) = \frac{1}{2}(3t^2 + 24 -\frac{144}{t^2})               S′(t)=21​(3t2+24−t2144​)
                                                  3                                       t                               4                                      +                            24                                       t                               2                                      −                            144                                            t                            2                                           \frac{3t^4 + 24t^2 -144}{t^2}               t23t4+24t2−144​
                                                             t                               4                                      +                            8                                       t                               2                                      −                            48                                            t                            2                                           \frac{t^4 + 8t^2 -48}{t^2}               t2t4+8t2−48​
                                                  (                                       t                               2                                      +                            12                            )                            (                                       t                               2                                      −                            4                            )                                            t                            2                                           \frac{(t^2 + 12)(t^2 -4)}{t^2}               t2(t2+12)(t2−4)​
                                              t                                      t                        tS’(t)S(t)(0,2)                                             <                               0                                      0                                             ↑                                      \uparrow                        ↑0=0极大值                                             (                               0                               ,                                           8                                  3                                          )                                      (0,\frac{8}{3})                        (0,38​)0                                             ↑                                      \uparrow                        ↑

  • 所以                                   x                         ∈                         [                         −                         2                         ,                         4                         ]                              x\in [-2,4]                  x∈[−2,4]时候                                   max                         ⁡                         f                         (                         x                         )                         =                         max                         ⁡                         (                         f                         (                         0                         )                         ,                         f                         (                         4                         )                         )                         =                         0                              \max f(x) =\max(f(0),f(4)) = 0                  maxf(x)=max(f(0),f(4))=0
  • $\min f(x) =\max(f(-2),f(\frac{8}{3})) =-6 $



  •                                          F                            (                            x                            )                            =                            ∣                                       1                               4                                                 x                               3                                      −                                       x                               2                                      −                            a                            ∣                                  F(x) = |\frac{1}{4}x^3 - x^2 -a|                     F(x)=∣41​x3−x2−a∣
  • 他在                                        [                            −                            2                            ,                            4                            ]                                  [-2,4]                     [−2,4]上的最大值为                                        M                            (                            a                            )                                  M(a)                     M(a)
  • 则                                        M                            (                            a                            )                            =                            max                            ⁡                                       (                               ∣                               a                               ∣                               ,                               ∣                               6                               +                               a                               ∣                               ,                               ∣                                           64                                  27                                          +                               a                               ∣                               )                                            M(a) = \max{(|a|,|6+a|,|\frac{64}{27} +a|)}                     M(a)=max(∣a∣,∣6+a∣,∣2764​+a∣)
2019 北京高考理


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  • 2018年北京高考数学试题及答案
  •                                                     f                               ′                                      (                            x                            )                            =                                       e                               x                                      (                            a                                       x                               2                                      −                            (                            a                            +                            1                            )                            x                            +                            1                            )                                  f&#39;(x)= e^x(ax^2 - (a+1)x + 1)                     f′(x)=ex(ax2−(a+1)x+1)
  •                                          (                            2                            a                            −                            1                            =                            0                            )                                  (2a-1=0)                     (2a−1=0)
  • 1/2



  •                                    a                                   x                            2                                  −                         (                         a                         +                         1                         )                         x                         +                         1                              ax^2 -(a+1)x+1                  ax2−(a+1)x+1


  •                                          a                            >                            0                                  a>0                     a>0
  •                                                     1                               a                                      <                            1                                  \frac{1}{a}1                     a>1
2018北京理



  • 2018北京理科数学及答案
  •                                          a                            =                            1                                  a=1                     a=1
  •                                          a                            ≥                                       1                               2                                            a\ge \frac{1}{2}                     a≥21​
2017北京理



  • 2017北京理科数学及答案
  •                                                     f                               ′                                      (                            x                            )                            =                                       e                               x                                      (                            cos                            ⁡                            x                            −                            sin                            ⁡                            x                            )                            −                            1                                  f&#39;(x) = e^x(\cos x - \sin x)-1                     f′(x)=ex(cosx−sinx)−1
  •                                                     f                               ′                                      (                            0                            )                            =                            0                                  f&#39;(0) = 0                     f′(0)=0
                               y                      −                      1                      =                      0                          y - 1 = 0               y−1=0



  •                                              f                            ′                                  (                         x                         )                         =                                   e                            x                                  (                         cos                         ⁡                         x                         −                         sin                         ⁡                         x                         )                         −                         1                              f&#39;(x) = e^x(\cos x - \sin x ) - 1                  f′(x)=ex(cosx−sinx)−1
要看                                             f                            ′                                  (                         x                         )                              f&#39;(x)                  f′(x)在                                   [                         0                         ,                                   π                            2                                  ]                              [0,\frac{\pi}{2}]                  [0,2π​]正负喽。,请问你能直接看出来吗??不能!

来源:https://blog.csdn.net/zhoutianzi12/article/details/112059412
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