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谱分析

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命中不缺你 发表于 2021-1-3 12:01:17 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
安稳过程的谱分析

确定性函数

傅里叶变更

                               F                      (                      ω                      )                      =                               ∫                                   −                            ∞                                  ∞                              f                      (                      t                      )                               e                                   −                            j                            ω                            t                                       d                      t                          F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt               F(ω)=∫−∞∞​f(t)e−jωtdt
                               f                      (                      t                      )                      =                               1                                   2                            π                                                ∫                                   −                            ∞                                  ∞                              F                      (                      ω                      )                               e                                   j                            ω                            t                                       d                      ω                          f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega               f(t)=2π1​∫−∞∞​F(ω)ejωtdω
信号做傅里叶变更需要满意两个条件:满意Dirichlet条件;在时间轴上绝对可积。
Parseval等式:                                       ∫                                   −                            ∞                                  ∞                              (                      f                      (                      t                      )                               )                         2                              d                      t                      =                               1                                   2                            π                                                ∫                                   −                            ∞                                  ∞                              ∣                      F                      (                      ω                      )                               ∣                         2                              d                      ω                          \int_{-\infty}^{\infty}(f(t))^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega               ∫−∞∞​(f(t))2dt=2π1​∫−∞∞​∣F(ω)∣2dω,说明白时域积分与频域积分相等,能量守恒。
能量谱密度:                              S                      (                      ω                      )                      =                      ∣                      F                      (                      ω                      )                               ∣                         2                                  S(\omega)=|F(\omega)|^2               S(ω)=∣F(ω)∣2
卷积

时域卷积                              ⟹                          \Longrightarrow               ⟹频域乘积:                              F                      [                               f                         1                              (                      t                      )                      ∗                               f                         2                              (                      t                      )                      ]                      =                               F                         1                              (                      ω                      )                               F                         2                              (                      ω                      )                          \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)F_2(\omega)               F[f1​(t)∗f2​(t)]=F1​(ω)F2​(ω)
时域乘积                              ⟹                          \Longrightarrow               ⟹频域卷积:                              F                      [                               f                         1                              (                      t                      )                               f                         2                              (                      t                      )                      ]                      =                               F                         1                              (                      ω                      )                      ∗                               F                         2                              (                      ω                      )                          \mathscr{F}[f_1(t)f_2(t)]=F_1(\omega)*F_2(\omega)               F[f1​(t)f2​(t)]=F1​(ω)∗F2​(ω)
相关函数

                                        R                         12                              (                      τ                      )                      =                               ∫                                   −                            ∞                                  ∞                                       f                         1                              (                      t                      )                               f                         2                              (                      t                      +                      τ                      )                      d                      t                          R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)f_2(t+\tau)dt               R12​(τ)=∫−∞∞​f1​(t)f2​(t+τ)dt,称为                                       f                         1                              (                      t                      )                          f_1(t)               f1​(t)和                                       f                         2                              (                      t                      )                          f_2(t)               f2​(t)的相互关函数。
                                        R                         21                              (                      τ                      )                      =                               ∫                                   −                            ∞                                  ∞                                       f                         1                              (                      t                      +                      τ                      )                               f                         2                              (                      t                      )                      d                      t                          R_{21}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t+\tau)f_2(t)dt               R21​(τ)=∫−∞∞​f1​(t+τ)f2​(t)dt
                                        R                         12                              (                      τ                      )                      =                               R                         21                              (                      −                      τ                      )                          R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau)               R12​(τ)=R21​(−τ)
注意下标!
能量谱密度

                                    R                         (                         τ                         )                                                                       ⇌                                                           逆                                     傅                                     里                                     叶                                     变                                     换                                                                        傅                               里                               叶                               变                               换                                            S                         (                         ω                         )                              R(\tau)\overset{傅里叶变更}{\underset{逆傅里叶变更}{\rightleftharpoons}}S(\omega)                  R(τ)逆傅里叶变换⇌​傅里叶变换​S(ω)
                               τ                      =                      0                          \tau=0               τ=0时即为Parseval等式。
注意互能量谱的共轭位置:                                       S                         12                              (                      ω                      )                      =                                                    F                               1                                      (                            ω                            )                                  ‾                                       F                         2                              (                      ω                      )                          S_{12}(\omega)=\overline{F_1(\omega)}F_2(\omega)               S12​(ω)=F1​(ω)​F2​(ω)
安稳随机信号

功率谱密度

假设安稳随机信号在有限时间上取值,在均方意义下盘算其傅里叶变更。因为每条样本都可以举行傅里叶变更,所以每个频点的幅值都是一个随机变量。对得到的谱函数盘算集匀称,并令有限时间趋于无穷大,这就界说了安稳随机信号的功率谱密度。显然功率谱密度是实的且非负。
                                    C                         (                         τ                         )                                                                       ⇌                                                           逆                                     傅                                     里                                     叶                                     变                                     换                                                                        傅                               里                               叶                               变                               换                                            P                         (                         ω                         )                              C(\tau)\overset{傅里叶变更}{\underset{逆傅里叶变更}{\rightleftharpoons}}P(\omega)                  C(τ)逆傅里叶变换⇌​傅里叶变换​P(ω)
                                        P                                   ξ                            η                                       (                      f                      )                      =                               ∫                                   −                            ∞                                  ∞                                       C                                   ξ                            η                                       (                      τ                      )                               e                                   −                            j                            2                            π                            f                            τ                                       d                      τ                          P_{\xi\eta}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}C_{\xi\eta}(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau               Pξη​(f)=∫−∞∞​Cξη​(τ)e−j2πfτdτ
                                        C                                   ξ                            η                                       (                      τ                      )                      =                               ∫                                   −                            ∞                                  ∞                                       P                                   ξ                            η                                       (                      f                      )                               e                                   j                            2                            π                            f                            τ                                       d                      f                          C_{\xi\eta}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}P_{\xi\eta}(f)e^{j2\pi f\tau}df               Cξη​(τ)=∫−∞∞​Pξη​(f)ej2πfτdf,这里用                              f                          f               f可以制止忘记乘                                       1                                   2                            π                                           \frac{1}{2\pi}               2π1​。
为了统一,通常把功率谱密度也写作                              S                      (                      f                      )                          S(f)               S(f)。
例题

给功率谱密度,让求相关函数和均方差。
思路:盘算傅里叶逆变更的到协方差函数,令                              τ                      =                      0                          \tau=0               τ=0得到均方差。
注意:协方差函数和相关函数之间还差了个均值函数的平方。
当函数不绝对可积时,给相关函数求功率谱密度。
实在就是那几个特殊函数的傅立叶变更。

随机输入的线性系统

讨论的是线性、定常、时稳定、因果的线性系统,输入是复安稳随机信号,观察输出。
卷积法

欠好用,也不考,以后再增补
功率谱密度法

输入:                              ξ                      (                      t                      )                      ,                               μ                         ξ                              ,                               R                                   ξ                            ξ                                       (                      τ                      )                      ,                               S                                   ξ                            ξ                                       (                      f                      )                          \xi(t),\mu_{\xi},R_{\xi\xi}(\tau),S_{\xi\xi}(f)               ξ(t),μξ​,Rξξ​(τ),Sξξ​(f)
系统:                              h                      (                      t                      )                      ,                      H                      (                      j                      f                      )                          h(t),H(jf)               h(t),H(jf)
输出:
                               η                      (                      t                      )                      =                               ∫                         0                         t                              h                      (                      t                      −                      u                      )                      ξ                      (                      u                      )                      d                      u                          \eta(t)=\int_0^th(t-u)\xi(u)du               η(t)=∫0t​h(t−u)ξ(u)du
                               E                      (                      η                      (                      t                      )                      )                      =                               μ                         ξ                                       ∫                                   −                            ∞                                  ∞                              h                      (                      u                      )                      d                      u                          E(\eta(t))=\mu_{\xi}\int_{-\infty}^{\infty}h(u)du               E(η(t))=μξ​∫−∞∞​h(u)du
                                        S                                   η                            η                                       (                      f                      )                      =                      ∣                      H                      (                      j                      f                      )                               ∣                         2                                       S                                   ξ                            ξ                                       (                      f                      )                          S_{\eta\eta}(f)=|H(jf)|^2S_{\xi\xi}(f)               Sηη​(f)=∣H(jf)∣2Sξξ​(f),这里可以看出有个缺点,就是只使用了系统的幅度信息,丢失了相位信息。
再做逆傅里叶变更就能得到输出的自协方差函数。
注意:
如果输入输出信号是团结安稳的,那么输入自相关函数与系统的冲激响应的卷积为输出与输入的相互关函数。
                                        R                                   η                            ξ                                       (                      τ                      )                      =                               ∫                                   −                            ∞                                  ∞                              h                      (                      u                      )                               R                                   ξ                            ξ                                       (                      τ                      −                      u                      )                      d                      u                          R_{\eta\xi}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}h(u)R_{\xi\xi}(\tau-u)du               Rηξ​(τ)=∫−∞∞​h(u)Rξξ​(τ−u)du
                                        S                                   η                            ξ                                       (                      f                      )                      =                      H                      (                      j                      f                      )                               S                                   ξ                            ξ                                       (                      f                      )                          S_{\eta\xi}(f)=H(jf)S_{\xi\xi}(f)               Sηξ​(f)=H(jf)Sξξ​(f)
这个时候可以生存相位特征,比力好!
谱分解

待增补
正态过程输入线性系统,输出也是正态过程,而且输入输出是团结正态的。


来源:https://blog.csdn.net/qq_41585683/article/details/112061203
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